カオス・フラクタルの2Dシミュレーション Ver.2

フラクタル・カオスを生成する簡単な複素力学系の式を用いて複素数平面にフラクタルを可視化しました。前回から数式は同じで、グラフィック化アルゴリズムを変えた第二弾となります。
右上スライダーからご自身で実際に値など変更することができるので、カオス・フラクタルの多彩な変化をご体験ください。

使い方：
＜画面上操作＞
移動：グラフィックス表示領域でマウスを押しながら動かすと画面が移動します。
ズーム：グラフィックス表示領域でスクロールすればズームできます。

＜左上メーター＞
水色表示：FPS(処理速度)を示し、正常に動けば60fpsと表示されます。
緑色表示：同じく処理速度を表す。こちらは使いません。
※クリックすれば切り替えることができます。

＜右上スライダー＞
CGシミュレーション内部の各パラメータをスライダーを使って変更することができます。
ini_r: 初期値\( x(0),y(0) \)の大きさを変更することができます。
ini_theta_speed: 絵が変化(回転)するスピード(初期値\( x(0),y(0) \)の\(\theta_{initial}\)の増加スピード)を変更することができます。
colorMagnification: 色付けされたグラデーションの見た目を変更することができます。
threshold: 色付けされる範囲(線の太さ)を変更することができる。

シミュレーションの解説：
このグラフィックは一つのシンプルな式とその式の性質を応用したアルゴリズムから描画されます。
カオス波形を生成する力学系の式、
\[ x(n+1)=r \left(cos \theta +i sin \theta \right) \left(x(n)-\frac{1}{x(n)}\right) \\[1.5cm]
n \in \mathbb{N},x(n),y(n)\in \mathbb{C},\epsilon_{x,y} \in \mathbb{R}\]
を用います。
初期値は下のように設定する。( ini_r\( \equiv r_{initial} \) )
\[ x(0)= r_{initial}\left(cos \theta_{initial} +i sin \theta_{initial} \right) \]
この式の計算を繰り返すことで時系列に沿った数値データを得ますが初期値を変化させることでいろいろな結果を見せてくれます。
今回は極座標\((r,\theta)\)を複素2次平面に割り当て、それぞれのピクセルで計算を繰り返した結果その一つである\(x(n)\)の収束する場合の収束値に応じて色付けを行いました。

作者: 比果奨人